[백준 / C++] 11404 플로이드 - (1) '플로이드-워셜 알고리즘에 대해'

백준 11404번 플로이드 문제  

문제

n(2 ≤ n ≤ 100)개의 도시가 있다. 그리고 한 도시에서 출발하여 다른 도시에 도착하는 m(1 ≤ m ≤ 100,000)개의 버스가 있다. 각 버스는 한 번 사용할 때 필요한 비용이 있다.

모든 도시의 쌍 (A, B)에 대해서 도시 A에서 B로 가는데 필요한 비용의 최솟값을 구하는 프로그램을 작성하시오.

입력

첫째 줄에 도시의 개수 n이 주어지고 둘째 줄에는 버스의 개수 m이 주어진다. 그리고 셋째 줄부터 m+2줄까지 다음과 같은 버스의 정보가 주어진다. 먼저 처음에는 그 버스의 출발 도시의 번호가 주어진다. 버스의 정보는 버스의 시작 도시 a, 도착 도시 b, 한 번 타는데 필요한 비용 c로 이루어져 있다. 시작 도시와 도착 도시가 같은 경우는 없다. 비용은 100,000보다 작거나 같은 자연수이다.

시작 도시와 도착 도시를 연결하는 노선은 하나가 아닐 수 있다.

출력

n개의 줄을 출력해야 한다. i번째 줄에 출력하는 j번째 숫자는 도시 i에서 j로 가는데 필요한 최소 비용이다. 만약, i에서 j로 갈 수 없는 경우에는 그 자리에 0을 출력한다.

예제 입력 1 

5
14
1 2 2
1 3 3
1 4 1
1 5 10
2 4 2
3 4 1
3 5 1
4 5 3
3 5 10
3 1 8
1 4 2
5 1 7
3 4 2
5 2 4

예제 출력 1 

0 2 3 1 4
12 0 15 2 5
8 5 0 1 1
10 7 13 0 3
7 4 10 6 0

 

---

플로이드 문제 풀이

 

플로이드 워셜 알고리즘이란?

" 모든 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로를 모두 구해야 하는 경우"에 사용할 수 있는 알고리즘입니다.

다익스트라 알고리즘과의 차이는 한 지점이 아니라 모든 지점이라는 것이죠.

 

시간 복잡도는 O(n^3)로 다익스트라보다 긴 편입니다. 그렇다면 왜 다익스트라 놔두고 플로이드 워셜 알고리즘을 쓰냐? 하면은 구현하기가 간단하기 때문입니다. 다익스트라에 비해 소스코드가 매우 간단한 편이죠.

 

플로이드 워셜 점화식

 

Dab = min (Dab , Dak + Dkb)

 

---

플로이드 워셜 알고리즘 그려보기

 

[Step 0] 그래프의 노드와 간선에 따라 최단 거리 테이블을 갱신

 

[Step 2] 1번 노드를 거쳐 가는 경우와 바로 가는 경우를 고려하여 테이블을 갱신한다.

 

[Step 3] 2번 노드를 거쳐 가는 경우를 고려하여 테이블 갱신한다.

 

 

[Step 4] 3번 노드를 거쳐 가는 경우를 고려하여 테이블을 갱신한다.

 

 

[Step 5] 4번 (마지막) 노드를 거쳐 가는 경우를 고려하여 테이블을 갱신한다. 

 

 

이렇게 플로이드- 워셜 알고리즘을 진행하면 모든 노드에 대한 최단거리를 구할 수 있습니다. 

아무래도 이 알고리즘을 모르면 이 문제를 풀기 쉽지 않은 것 같습니다.. ㅎㅎ

 

포기하지 않고 구현해보면 좋을 것 같네요!

 

---

플로이드 워셜 알고리즘 전체 코드 (C++)

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int INF = 1e9;
int n, m;
int dist[101][101]; // 거리 테이블

void floydWarshall() {
    for (int k = 1; k <= n; k++) {
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= n; j++) {
                if (dist[i][k] != INF && dist[k][j] != INF) {
                    dist[i][j] = min(dist[i][j], dist[i][k] + dist[k][j]);
                }
            }
        }
    }
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);

    cin >> n >> m;

    // 초기화: 자기 자신으로 가는 거리는 0, 나머지는 INF
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= n; j++) {
            if (i == j) dist[i][j] = 0;
            else dist[i][j] = INF;
        }
    }

    // 입력 받기
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        int a, b, c;
        cin >> a >> b >> c;
        dist[a][b] = min(dist[a][b], c); // 중복 간선 처리
    }

    // 플로이드-워셜 수행
    floydWarshall();

    // 결과 출력
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= n; j++) {
            if (dist[i][j] == INF) cout << "0 ";
            else cout << dist[i][j] << " ";
        }
        cout << '\n';
    }

    return 0;
}